一、判监外执行在犯罪行为上一定很轻微才行吗?

并不是在犯罪上很轻微就可以判监外执行，判监外执行必须包含以下条件：

1、罪犯有严重疾病需保外就医。需要注意的是，这种严重疾病不能是自残自伤的罪犯，而且如果保外就医时可能有社会危险性，则不得保外就医。

2、罪犯怀孕或者正在哺乳自己的婴儿。

3、罪犯生活不能自理，适用暂予监外执行不致危害社会。

此外，对于第一种情况，即罪犯犯有严重疾病的情况，需要由医院开具证明文件，此文件的开具单位必须是由省级人民政府指定的医院。通过对这些证明文件的审批通过，方可交予监外执行。当发现被保外就医的罪犯不符合保外就医条件的，或者严重违反有关保外就医规定的，还应当及时收监执行。

二、监外执行由哪个部门执行?

对于暂予监外执行的罪犯，实行社区矫正，基层组织或者罪犯的原所在单位协助进行监督，执行机关应当对暂予监外执行的罪犯严格管理监督。对于服刑中决定暂予监外执行的罪犯，原执行机关应当将罪犯服刑改造的情况通报负责监外执行的公安机关，以便有针对性地对罪犯进行管理监督：负责执行的公安机关应当告知罪犯，在暂予监外执行期间必须接受监督改造并遵守有关的规定。

暂予监外执行的情形消失后，罪犯刑期未满的，应当及时收监。对于人民法院在作出判决、裁定的同时决定对罪犯暂予监外执行的，对该罪犯的收监，应当由负责执行的公安机关通知人民法院将该罪犯依法交付执行。如果罪犯是在执行过程中被决定暂予监外执行的，负责执行的公安机关应当通知监狱等执行机关收监。暂予监外执行过程中罪犯刑期届满的，应当由原关押监狱等执行机关办理释放手续。罪犯在暂予监外执行期间死亡的，负责执行的公安机关应当及时通知原关押监狱或其他执行机关。

因此如果罪犯犯罪的行为很轻微，但是并不满足申请建外执行的条件，也是不能够申请监外执行的，除非该罪犯在身体上存在着严重的疾病，这时候只能够在外面就医，而且这个疾病不是罪犯在监狱里面自残造成的，或者是罪犯的生活并不能够自理，那么是可以申请建外执行的。