一、刑事批准逮捕权是哪个机关的？

刑事批准逮捕权是属于人民检察院和人民法院的。

提请批准逮捕书是公安机关对有证据证明有犯罪事实且有逮捕必要的犯罪嫌疑人，应当追究刑事责任时，提请同级人民检察院审查批准逮捕时制作的法律文书。

批准逮捕应该由检察院作出，公安机关执行，公安机关没有作出逮捕的权力，公安机关不能批准逮捕。

《刑事诉讼法》第六十六条规定：公安机关要求逮捕犯罪嫌疑人的时候，应当写出提请批准逮捕书，连同案卷材料、证据，一并移送同级人民检察院审查批准。必要的时候，人民检察院可以派人参加公安机关对于重大案件的讨论。

第六十七条　人民检察院审查批准逮捕犯罪嫌疑人由检察长决定。重大案件应当提交检察委员会讨论决定。

二、刑事逮捕之后是不是就立案了？

不一定，还要经过审查起诉程序，确定是否提起公诉。

审查起诉是指人民检察院对公安机关侦查终结移送起诉的案件和自行侦查终结的案件进行审查，依法决定是否对犯罪嫌疑人提起公诉、不起诉或者撤销案件的诉讼活动。提请批准逮捕书是公安机关对有证据证明有犯罪事实且有逮捕必要的犯罪嫌疑人，应当追究刑事责任时，提请同级人民检察院审查批准逮捕时制作的法律文书。

《刑事诉讼法》第六十六条规定：公安机关要求逮捕犯罪嫌疑人的时候，应当写出提请批准逮捕书，连同案卷材料、证据，一并移送同级人民检察院审查批准。必要的时候，人民检察院可以派人参加公安机关对于重大案件的讨论。

第六十七条　人民检察院审查批准逮捕犯罪嫌疑人由检察长决定。重大案件应当提交检察委员会讨论决定。

人民检察院作出批准逮捕之后的决定并不能说明该案件已经立案了，同时还需要经过公安机关的侦查之后才可以决定是否进行立案处理的。人民法院做出的批准逮捕决定是发生在人民法院进行审判的时候，被告没有出席的情况下的。